コンピュータの基礎第３講
整数の内部表現

【第３講のポイント】コンピュータが 0 と 1 で動いていることは、よく知られている。本講では、コンピュータ内における整数の内部表現について学ぶ。またその準備として、2進数についても学習する。

【第３講の目標】学習後、以下のことが身についたかチェックしよう。

2¹⁰≒1000 を利用した概算ができsる
2進整数について、2進⇔10進の変換ができる
2進の四則演算の筆算ができる
整数の内部表現を具体的に理解し、時に間違った（？）計算が行われる理由を理解する

【第３講の構成】

2のベキ乗
2進数
2進数の四則演算
整数の内部表現
8ビット整数における計算

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この教科書はBookletを利用して作成しています。

第１節２のベキ乗

　ガマの油売りの口上の一節に、「…エイッ　抜けば玉散る氷の刃。ここに、ちょうど一枚の紙があるから、切ってお目に掛けよう。一枚の紙が二枚、二枚の紙が四枚、四枚の紙が八枚、八枚が十と六枚、十六枚が三十と二枚、三十二枚が六十四枚、六十四枚が一束と二十八枚。ほれこの通り細かくよく切れた。ふっと散らせば、比良の慕雪か嵐山には落花の吹雪とござい」
とあるように、2 のべき乗は 2⁰=1 から順に、次のように続く。

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256(=2⁸), 512, 1024(=2¹⁰)

ビット(b)とバイト(B)

　bit(ビット)は binary digit の略で、２進数の１桁(つまり 0 か 1 )をいう(情報量とビットのコラム参照)。さらに、８桁の 0,1 の列、つまり８ビットを１バイト(Byte)と呼ぶ。k ビットでは 2^k 通りの値を表せるので、1バイト(=8ビット)で 2⁸=256 通りの値を表せる。
　単位として使う時は通常、ビットを小文字bで、バイトを大文字Bで表す。

２進のキロ、メガ、ギガ

　2¹⁰＝1024≒10³ なので、2¹⁰＝1,024 をキロ(K)、2²⁰＝1,048,576 をメガ(M)、2³⁰＝1,073,741,824 をギガ(G)ということもある。ただしこの講義では特に断らない限り、キロ(K)を1,000(千)、メガ(M)を1,000,000(百万)、ギガ(G)を1,000,000,000(十億)、テラ(T)を1,000,000,000,000(一兆)として扱う。

2¹⁰＝1024≒10³ であることを使って、次の値の概算値を求めよ。

2¹⁶＝2⁶×2¹⁰≒
2²⁴＝2⁴×2¹⁰×2¹⁰≒
2³²＝2²×2¹⁰×2¹⁰×2¹⁰≒

（暗算できるようになることが望ましい）

第２節２進数

　通常われわれが使っている記数法はいわゆる10進法で、例えば

303＝3×10²＋0×10¹＋3×10⁰＝300＋0＋3

である。ここで、303 の左端（3桁目）の 3 は 300、右端（1桁目）の 3 は 3 というように、数字はその位置によって意味(表す数)が異なり、

k 桁目（右から k 番目、10^k-1の位）の数字 a は a×10^k-1

を意味する。このような記数法（10 進法）を、基数 10 の位取り記数法ともいう。人類がいかにして位取り記数法を獲得したか、またその重要さについては、吉田洋一著「零の発見－数学の生い立ち」岩波新書が名著で一読を薦める。
　一般に基数 N（≧2）の位取り記数法（N進法）では、k桁目(右から k番目)は N^k-1の位でその位置の「数字」aは a×N^k-1 を意味する。すなわち、0から N-1までを表す N種類の「数字」を用いて a_ka_k-1…a₂a₁a₀ が表す数[a_ka_k-1…a₂a₁a₀]_N は、次の式で与えられる。

[a_ka_k-1…a₂a₁a₀]_N=a_k×N^k＋a_k-1×N^k-1＋…＋a₂×N²＋a₁×N¹＋a₀×N⁰

２進→１０進変換

　２進数は基数 N=2 の場合なので、0または 1の数字列で、

[a_ka_k-1…a₂a₁a₀]₂=a_k×2^k＋a_k-1×2^k-1＋…＋a₂×2²＋a₁×2¹＋a₀×2⁰

なので、2進数が表す(10進)数は上式の右辺で計算できる。
　別法として、[a_k]₂、[a_ka_k-1]₂、…、 [a_ka_k-1…a₂a₁]₂、[a_ka_k-1…a₂a₁a₀]₂ を順に求める方法もある。

[a_ka_k-1…a_i+1a_i]₂＝[a_ka_k-1…a_i+1]₂×2＋a_i

なので、

a_kから始めて、2 倍して次の数字 0 または 1（が表す数）を加えることを、a₀ まで（k 回）繰り返せば [a_ka_k-1・・・a₂a₁a₀]₂が求まる。

計算例１
[ 1  0  1  1  0]₂＝16+4+2＝22
 16  8  4  2  1 の位

計算例２（別法）
    [1]₂＝ 1
   [10]₂＝   [1]₂×2＋0＝ 1×2＋0＝ 2
  [101]₂＝  [10]₂×2＋1＝ 2×2＋1＝ 5
 [1011]₂＝ [101]₂×2＋1＝ 5×2＋1＝11
[10110]₂＝[1011]₂×2＋0＝11×2＋0＝22

１０進→２進変換

　10進数を2進数に変換するには「2進→10進変換の別法」の逆を行う。

[a_ka_k-1…a_i+1a_i]₂÷2＝[a_ka_k-1…a_i+1]₂ 余り a_i

なので、与えられた数の２進表現 a_ka_k-1…a₂a₁a₀ を求めるには

2 で割ってその余りを求めることを繰り返して、a₀,a₁,a₂,…,a_k-1,a_k を順に求め、求めた数字を逆に並べればよい。

また、「２進→１０進変換」の逆の考え方で、その数以下で最大の 2 のベキを求めて引いていく方法もある。

計算例２（別法）の逆
2)22 
2)11 … 0
2) 5 … 1
2) 2 … 1
2) 1 … 0
   0 … 1↑　　答．10110

計算例１の逆
      22 以下最大の 2 のベキは 2⁴=16
22-16= 6 以下最大の 2 のベキは 2²= 4
  6-4= 2 以下最大の 2 のベキは 2¹= 2
2⁴=16 の位、2²=4 の位、2¹=2 の位が 1 で
答．10110

2進数 11001 を10進数で表せ
2進数 10110 を10進数で表せ
10進数 49 を 2進数で表せ
10進数 38 を 2進数で表せ

コラム．ホーナー法

2進→10進変換の別法は、多項式f(x)=a_kx^k＋a_k-1x^k-1＋…＋a₂x²＋a₁x¹＋a₀の値の効率的計算法として知られるホーナー法の応用である。ホーナー法は、
f(x)=((…(a_kx＋a_k-1)x＋…＋a₂)x＋a₁x)＋a₀ と変形し、f(x) の値を求めるのに
係数a_kから始めて、x倍して次の係数を加えることを、a₀まで繰り返す。

第３節　2進数の四則演算

×	0	1
0	0	0
1	0	1

＋	0	1
0	0	1
1	1	10

　２進数では、使う数字は 0 と 1 だけだから、足し算と掛算の表は、１０進数に比べてごく簡単である(右表)。多数桁の筆算法は１０進数と同じ考え方に基づいているが、足し算では「2(1+1) で桁上がり」し、引算では上の桁から「2 を借りる」ことになる。また、③では、2桁上から借りてきていることに注意しよう。



	①
      　１０１
 ＋）₁１₁１ ０₁１
   １００１０
	
	②
     １ １²０²１
 －）　 １ １ ０
     　１１１
	
	③
     １ ０¹０²１
 －）　 １ １ ０
     　０１１

　掛け算や割り算の筆算も10進数の場合と同様である。ただし、⑥の10進数で言う 1/5 の計算が2進では循環小数になることに注意しよう。



	④
　　　　１１０１
　　×）　１０１
　　　　１１０１
　　１１０１　　
　１０００００１
	

	⑤
　　　　　　　　１１０１　
　１０１）１００００１０
　　　　　　１０１　　　　
　　　　　　　１１０　　　
　　　　　　　１０１　　　
　　　　　　　　　１１０　
　　　　　　　　　１０１　
　　　　　　　　　　　１　
	
	⑥
　　　　　０．００１１００１１・・・　
　１０１）１．０００
　　　　　　　１０１　　　　
　　　　　　　　１１０　　　
　　　　　　　　１０１　　　
　　　　　　　　　　１０００　
　　　　　　　　　　　１０１　
　　　　　　　　　　　　１１０
　　　　　　　　　　　　１０１　
　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　・・・

1011+1101=
1010-110=
1001-11=
101×101=
1010×1011=
1001100÷110 の商と余りを求めよ
１０進数の 0.75(=3÷4) を２進数で(小数点以下を含め)表せ
１０進数の 0.1(=1÷10) を２進数で(小数点以下を含め)表せ

コラム．引算を足し算に変える

a－b（a>b>0）の答を a＋b'＋1 で求める方法を紹介しよう。
１０進数の例：5004-78＝5004-0078⇒5004+9921+1=14926⇒4926
　２進数の例：1001-110＝1001-0110⇒1001+1001+1＝10011⇒11
手順：以下の手順がうまく働く理由を考えてみよう
　①bの頭にaの桁数に合わせて0を追加する
　②①の各桁の数字を次にように変換した数をb'とする
　　１０進数：足して9になる数字
　　　２進数：0，1を反転
　③足し算結果の頭の1(とそれに続く0)を削除する
ここで(b'+1)を10(2)進数におけるbの補数という。パスカリーヌでは、引算機構がなかったので、この原理を利用して引算を行っていた。　　

第４節　整数の内部表現

　整数は一般にいくらでも大きくなれるので、コンピュータで正確に表現する(完全なモデルを作る)ことはできず、通常、一定範囲の整数しか表現できない(数式処理ソフトなどで原理的にいくらでも大きな整数を扱えるようにしているものもある)。

整数のサイズ(ビット数)と表現範囲
ビット数	表現できる数値の範囲	数値の個数
8	-128～127（-2⁷～2⁷-1）	2⁸=256
16	-32766～32765（-2¹⁵～2¹⁵-1）	2¹⁶=65,536
32	-2147483648～2147483647（-2³¹～2³¹-1）	2³²=4,294,967,296

　この表現範囲を超えた数値を扱うと何が起こるか、確かめてみよう。

１) 700000000＋800000000, 1500000000＋800000000
２) 70000×30000, 80000×30000
３) 2³⁰, 2³¹, 2³²
またこのような結果がでる理由を整数の表現範囲から考えよ。

　重要なのは、これらの一見おかしな計算をコンピュータがエラーとして報告しないという点である。この後その理由を調べるが、これらのエラーを避ける責任は利用者（プログラマー）にある。　

補数

　前頁のようなことが起こる理由は、コンピュータ内部での整数の表し方にある。非負(0以上の)整数は2進表現されるが、負の整数 -n の内部表現はどうか。アイディアは、整数を表すビット数即ち2進桁数 k（通常 k=32）が固定し、それを利用して、減算を加算(回路)で実現する点にある。例えば 5-3 を (5の内部表現)＋(-3の内部表現) で計算したい。どうすればよいか。

コラム．10進2桁コンピュータの整数内部表現

　10進2桁コンピュータを考える。2桁しか計算できないから内部表現は 00～99 で、右図の目盛のように 99 の次は（桁あふれを無視し）00に戻る。それらで -50～49 の整数を表す際は、0を 00に合わせ -50を 50で、49を 49で表す。このとき、30を引く(時計回りで -30回す)ことは -30の内部表現 70 を足す(70回す)ことと同じなので、減算が加算に置き換わる。
(針の移動：円盤の縁でマウスドラッグ)
　10進2桁の整数計算では、-nの内部表現 100-nを nの補数といい、-nをたすことと nの補数をたすことは等しい。

10＋30、40＋30
2×20、4×20、10×20
10¹、10²

注．10進2桁コンピュータが扱える整数の範囲は -50～49 である

第５節　８ビット整数における計算

　kビット(2進)整数では、2^k-n を nの補数と言い、00…0～11…1 の 2^k通りの内部表現で -2^k-1～2^k-1-1 の整数を表す。0～2^k-1-1 の非負整数 m はその2進数 000…0～011…1 で表し、-2^k-1～-1 の負数 -nは nの補数の2進表現 100…0～111…1 で表す。このとき 2^k に対応する (k+1) ビット目(桁あふれ) を無視すれば、次が成り立つ。

(m の内部表現)＋(-n の内部表現)　＝　m＋(2^k-n)＝2^k＋(m-n)　→　m-n
　　　　　　　　　　　　[-n を補数に変換]　　　　　　[桁あふれを無視]

　仮に整数が k=8 ビット（実際は32ビット）で表されているとしよう。2⁸=256 で、扱える範囲は -2⁷=-128～2⁷-1=127であり、n の補数は 256-n である。
　このとき、右のデモからも分かるように、0～127 の非負整数 m はその2進数 00000000～01111111 で表し、-128～-1 の負数 -nは nの補数の2進表現 10000000～11111111 で表す。

また、下の加(減)算器のように、計算した結果が範囲外になる場合は、誤りだが正当な(？)計算になる。

8ビット整数で 100+50 の値はいくつか。また、そうなる理由を説明せよ
内部表現から正負を判定する方法を述べよ
n と -n の内部表現の違いを説明せよ。

負の数の内部表現の求め方

　問３．６．からもわかるように、nの内部表現と -nの内部表現（補数 2⁸-n の 2進表現）との間には　

n の内部表現 ← 一番右の1より左で0, 1を反転 → -n の内部表現

という関係が成り立つ。

例．6：00000110　　-6：11111010（=256-6 の2進表現）

１．37　　２．-37　　３．-26

8ビット整数における計算

　ここまでの説明により、8ビット整数の(内部)計算は以下のようになる。
ここで青色の矢印 ←、→ は2進・10進変換を表し。緑色の矢印 ←、→ は補数表現の変換を表す。

例１． 100 →  01100100
　     -48  +) 11010000 ←48：00110000
　      52 ← 100110100 あふれを無視

例２．  48 →  00110000
　    -100  +) 10011100 ←100：01100100
　     -52 ⇐  11001100 (→ 00110100→52)
             (頭が1の時は負の数)

37-26
26-37
64+48
96+48

コンピュータの基礎第３講整数の内部表現

第１節 ２のベキ乗

ビット(b)とバイト(B)

２進のキロ、メガ、ギガ

第２節 ２進数

２進→１０進 変換

１０進→２進 変換

第３節 2進数の四則演算

第４節 整数の内部表現

補数

第５節 ８ビット整数における計算