第６講　計量線型空間　　 1講 2講 3講 4講 5講　 7講 8講

線型代数第６講
計量線型空間

【第６講のポイント】
本講では、内積を導入した計量線型空間を扱う。内積から長さ（ノルム）や直交の概念が定義され、線型空間における議論がより精緻化される。

【第６講の目標】 学習後、以下のことが身についたかチェックしよう。
  1. 内積、ノルム、直交の概念を理解する
  2. シュミットの直交化法が計算できる
  3. 正規直交基底の計算ができる
  4. 正規変換・正規行列と関連概念を理解する

【第６講の構成】
　１節　内積
　２節　正規直交基底
　３節　正規変換・正規行列


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この教科書はBookletを利用して作成している。

第１節　内積

平面(空間)ベクトルには長さやなす角などの概念があり、内積から計算できる。本講では内積が導入された$\mathbb{K}(\in\{\mathbb{C},\mathbb{R}\})$上の線型空間を取り扱う。

定義．$\mathbb{K}$上の線型空間$V$は、次の条件を満たす内積 $\cdot\bullet\cdot:V^2\to \mathbb{K}$ が定義されているとき、計量線型空間という。
(1) $(c\vect{u}_1+\vect{u}_2)\bullet\vect{v}=c(\vect{u}_1\bullet\vect{v})+\vect{u}_2\bullet\vect{v},\ \vect{u}\bullet(c\vect{v}_1+\vect{v}_2)=\overline{c}(\vect{u}\bullet\vect{v}_1)+\vect{u}\bullet\vect{v}_2$
(2) $\vect{u}\bullet\vect{v}=\overline{\vect{v}\bullet\vect{u}}$
(3) $0\le \vect{v}\bullet\vect{v}\ (\in \mathbb{R}),\ \ \vect{v}\bullet\vect{v}=0\Leftrightarrow \vect{v}=\vect{o}$
　ここで、$\overline{a+bi}:=a-bi$ (複素共役)で、$|c|:=\sqrt{c\overline{c}}$ (絶対値)とする。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$の場合$\overline{　}$は不要である。複素計量線型空間($\mathbb{K}=\mathbb{C}$)をユニタリ空間、実計量線型空間($\mathbb{K}=\mathbb{R}$)をユークリッド空間という。以下計量線型空間を扱う。
例．1. ${}_n[\mathbb{K}]$において ${}_n[u_i]\bullet{}_n[v_i]:=\displaystyle \sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}=[u_i]^n{}_n[\overline{v_i}]$
2. $n$次以下の多項式がなす空間において$\displaystyle f(x)\bullet g(x):=\int_{-1}^1 f(x)\overline{g(x)}dx$

定義．1. $\vect{u}\bullet\vect{v}=0$ のとき $\vect{u},\vect{v}$ は直交するという。
2. $\vect{v}$ のノルム(長さ)を $\|\vect{v}\|:=\sqrt{\vect{v}\bullet\vect{v}}\in\mathbb{R}$ で定義する。
定義から零ベクトル$\vect{o}$は任意のベクトル$\vect{v}$と直交$\vect{o}\bullet\vect{v}=\vect{v}\bullet\vect{o}=0$する。

定理．内積の定義から次の基本的な不等式が成立つ。
1.シュワルツの不等式：$|\vect{u}\bullet\vect{v}|{\le}\|\vect{u}\|\|\vect{v}\|,$ 等号は$\vect{u}{=}c\vect{v}\vee \vect{v}{=}c\vect{u},\ c{\in}\mathbb{K}$と同値
2.三角不等式：$\|\vect{u}{+}\vect{v}\|{\le}\|\vect{u}\|{+}\|\vect{v}\|,$ 等号は$\vect{u}{=}a\vect{v}\vee \vect{v}{=}a\vect{u},\ a{\ge}0$と同値
証明．1. $\vect{v}{=}\vect{o}$なら成立つから$\vect{v}{\ne}\vect{o}$とする。$0\le\|(\|\vect{v}\|^2\vect{u}{-}(\vect{u}{\bullet}\vect{v})\vect{v})\|^2$
$=\|\vect{v}\|^4(\vect{u}{\bullet}\vect{u}) {-}\|\vect{v}\|^2\overline{\vect{u}{\bullet}\vect{v}}(\vect{u}{\bullet}\vect{v}) {-}(\vect{u}{\bullet}\vect{v})\|\vect{v}\|^2(\vect{v}{\bullet}\vect{u}) {+}(\vect{u}{\bullet}\vect{v})\overline{(\vect{u}{\bullet}\vect{v})}(\vect{v}{\bullet}\vect{v})$ $=\|\vect{v}\|^2(\|\vect{u}\|^2\|\vect{v}\|^2{-}|\vect{u}{\bullet}\vect{v}|^2)$。よって$\|\vect{u}\|\|\vect{v}\|{\ge}|\vect{u}{\bullet}\vect{v}|$。等号条件は$\vect{u}{=}\dfrac{\vect{u}{\bullet}\vect{v}}{\|\vect{v}\|^2}\vect{v}$と$\vect{u},\vect{v}$に関する対称性より言える。
2. $\|\vect{u}{+}\vect{v}\|^2 =\vect{u}{\bullet}\vect{u}{+}\vect{u}{\bullet}\vect{v}{+}\vect{v}{\bullet}\vect{u}{+}\vect{v}{\bullet}\vect{v}\le\|\vect{u}\|^2{+}\|\vect{v}\|^2{+}2|\vect{u}{\bullet}\vect{v}| \le(\|\vect{u}\|{+}\|\vect{v}\|)^2$。
$\vect{v}{\ne}\vect{o}$ の時 等号条件は $\vect{u}{\bullet}\vect{v}{+}\vect{v}{\bullet}\vect{u} =2|\vect{u}{\bullet}\vect{v}|=2\|\vect{u}\|\|\vect{v}\|$より$\vect{u}{=}a\vect{v},\ a{+}\overline{a}{=}2|a|$。

　線型空間$V$の基底$J=\langle\vect{j}_i \rangle^n$に対し、$T_J:\langle\vect{j}_i \rangle^n{}_n[x_i]\in V \mapsto {}_n[x_i]\in {}_n[\mathbb{K}]$は同型写像だから、$V$の内積を$\vect{u}\bullet\vect{v}:=T_J(\vect{u})\bullet T_J(\vect{v})$で“自然に”定義でき、基底ベクトルはノルム$1$で互いに直交する。次節では逆に、内積に対して“自然な”基底を扱う。

第２節　正規直交基底

　計量線型空間$V$のノルム$1$で互いに直交するベクトルの有限集合を$V$の正規直交系といい、$V$を張る正規直交系を$V$の正規直交基底という。

定理．互いに直交する非零ベクトルの有限集合は線型独立である。
証明．互いに直交する非零ベクトルの線型関係$\langle\vect{v}_i\rangle^n{}_n[c_i]=\vect{o}$の両辺で$\vect{v}_i$との内積をとれば$c_i=0$。

シュミットの直交化法

定理．線型独立なベクトルの有限集合を、張る空間を変えずに正規直交系に変換できる。
証明．$\vect{v}_1,\vect{v}_2,\cdots,\vect{v}_n$が線型独立のとき、次のように定義すればよい。
$\displaystyle \vect{i}_1:=\frac{\vect{v}_1}{\|\vect{v}_1\|},\ \vect{v}'_k=\vect{v}_k-\sum_{i=1}^{k-1}(\vect{v}_k\bullet\vect{i}_i)\vect{i}_i,\ \vect{i}_k:=\frac{\vect{v'}_k}{\|\vect{v'}_k\|}\ (2\le k \le n)$
実際、$\vect{v'}_k$は$\vect{i}_1,\dots,\vect{i}_{k-1}$と直交し $\overline{\langle\vect{v}_1,\dots,\vect{v}_{k-1},\vect{v}_k\rangle}^+=\overline{\langle\vect{i}_1,\dots,\vect{i}_{k-1},\vect{v}'_k\rangle}^+$。

定理．計量線型空間は正規直交基底を持つ。

例．実係数多項式空間の内積 $\displaystyle f(x)\bullet g(x):=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx$ に対し 基底$1,x,x^2,\dots$ を正規直交基底 $\vect{i}_0,\vect{i}_1,\vect{i}_2,\dots$に変換してみよう。
0. $\displaystyle \|1\|^2=\int_{-1}^1 1\cdot 1dx=2$より $\displaystyle \vect{i}_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$
1. $\displaystyle x-\left(\int_{-1}^1 x\frac{1}{\sqrt{2}}dx\right)\frac{1}{\sqrt{2}}=x,\ \|x\|^2=\int_{-1}^1 x\cdot xdx=\frac{2}{3}$より $\displaystyle \vect{i}_1=\sqrt{\frac{3}{2}}x$
2. $\displaystyle x^2-\left(\int_{-1}^1 x^2\frac{1}{\sqrt{2}}dx\right)\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(\int_{-1}^1 x^2\sqrt{\frac{3}{2}}xdx\right)\sqrt{\frac{3}{2}}x=x^2-\frac{1}{3}$
$\displaystyle \|x^2-\frac{1}{3}\|^2=\int_{-1}^1 \left(x^2-\frac{1}{3}\right)^2dx=\frac{8}{45}$より $\displaystyle \vect{i}_2=\sqrt{\frac{45}{8}}\left(x^2-\frac{1}{3}\right)$
一般に $\displaystyle \vect{i}_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}\left(x^2-1\right)^n$ となることが知られている。

第３節　計量同型写像

　内積を保存（$T(\vect{u})\bullet T(\vect{v})=\vect{u}\bullet \vect{v}$）する線型写像$T$を計量同型写像という。実際、線型写像$T$が内積を保存するとき、$T(\vect{u})=T(\vect{v})\implies \vect{u}=\vect{v}$
$\because)任意の\vect{w}に対し\ T(\vect{w})\bullet (T(\vect{u})-T(\vect{v}))=T(\vect{w})\bullet T(\vect{u})-T(\vect{w})\bullet T(\vect{v})\\ =\vect{w}\bullet\vect{u}-\vect{w}\bullet\vect{v}=\vect{w}\bullet(\vect{u}-\vect{v})$
が成立ち、内積を保存する線型写像はその値域への計量同型写像である。

問．内積を保存する写像$f$は線型写像、即ち、$f(c\vect{u}+\vect{v})=cf(\vect{u})+f(\vect{v})$ を満たすことを示せ。

定理．線型写像$T$に関する次の$3$条件は同値である。
1. $T(\vect{u})\bullet T(\vect{v})=\vect{u}\bullet\vect{v}$（内積保存・計量同型）
2. $\|T(\vect{v})\|=\|\vect{v}\|$（ノルム保存）
3. $T$は正規直交系を保存する。
証明．$T:U\to V$、$\langle\vect{i}_i\rangle^n$を$U$の正規直交基底とする。
1$\Rightarrow$3: $T(\vect{i}_i)\bullet T(\vect{i}_j)=\vect{i}_i\bullet\vect{i}_j= \delta{ij}$より$\langle T(\vect{i}_i)\rangle^n$は$T(U)$の正規直交基底。
3$\Rightarrow$2: $\|T(\langle\vect{i}_i\rangle^n{}_n[x_i])\|^2 =\|\langle T(\vect{i}_i)\rangle^n{}_n[x_i]\|^2 =\|[x_i]\|^2=\|\langle\vect{i}_i\rangle^n{}_n[x_i]\|^2$
2$\Rightarrow$1: $\|T(a\vect{u}+\vect{v})\|^2=\|a\vect{u}+\vect{v}\|^2$ の両辺を展開して
$aT(\vect{u})\bullet T(\vect{v})+ \overline{a}\overline{T(\vect{u})\bullet T(\vect{v})}=a\vect{u}\bullet\vect{v}+ \overline{a}\overline{\vect{u}\bullet\vect{v}}$。
$T(\vect{u})\bullet T(\vect{v})$と$\vect{u}\bullet\vect{v}$は $a=1$のとき実部が $a=i$ のとき虚部が一致する。

　$A={}_m[a_{ij}]^n$に対し、$A^\mathsf{T}:={}_n[a_{ji}]^m,\ \overline{A}:={}_m[\overline{a_{ij}}]^n,\ A^*:=\overline{A^\mathsf{T}}={}_n[\overline{a_{ji}}]^m$ で定義し、$A^\mathsf{T}$を転置行列、$A^*$を随伴行列という。

定理．$m\times n$行列$A=[\vect{a}_j]^n$に関する次の$4$条件は同値である。
1. $A\vect{u}\bullet A\vect{v}=\vect{u}\bullet\vect{v}$（内積保存）
2. $\|A\vect{v}\|=\|\vect{v}\|$（ノルム保存）
3. $\vect{a}_i\bullet\vect{a}_j=\delta_{ij}$（$\langle A\vect{e}_j\rangle^n=\langle\vect{a}_j\rangle^n$は${}_m[\mathbb{K}]$の正規直交系）
4. $A^*A=E$
証明．$A$が内積を保存すれば、$A\vect{u}=A\vect{v}\Rightarrow \vect{u}=\vect{v}$だから、$m\ge n$である。
1.2.3.は同型写像に関する前定理の言い換えに過ぎない。
3$\Leftrightarrow$4. $\vect{u}\bullet\vect{v}={}^t\vect{u}\overline{\vect{v}}$ だから、$A^*A$ の$(i,j)$成分は ${}^t\overline{\vect{a}_i}\vect{a}_j %=\sum_{k=1}^n\overline{a_{ki}}a_{kj} =\overline{\vect{a}_i\bullet\vect{a}_j}$。
　　　
次の定理の2.により線型写像$T$の随伴写像$T^*$を定めると、行列に関する定理中の同値な条件4の線型写像版を得る。
$T$が計量同型$\iff$4. $T^*T=I$。ここで$I:\vect{v}\mapsto \vect{v}$は恒等変換。

定理．1. $A\vect{u}\bullet\vect{v}=\vect{u}\bullet A^*\vect{v}$。
2. $T(\vect{u})\bullet\vect{v}=\vect{u}\bullet T^*(\vect{v})$ を満たす$T^*$はただ一つ存在する。
3. 正規直交基底のもとで、$A$が$T$を表せば$A^*$が$T^*$を表す。
4. $T^*T=I$
証明．1. $A\vect{u}\bullet\vect{v}={}^t(A\vect{u})\overline{\vect{v}} ={}^t\vect{u}{}^tA\overline{\vect{v}}={}^t\vect{u}\overline{A^*\vect{v}} =\vect{u}\bullet A^*\vect{v}$
2.【存在】$T:U\to V$、$U$の正規直交基底を$\langle\vect{j}_i\rangle^n{}$とし、$T^*:V\to U$を$T^*(\vect{v}):=\langle\vect{j}_j\rangle^n{}_n[\vect{v}\bullet T(\vect{j}_j)]$と定義する。$\vect{j}_i\bullet\vect{j}_j=\delta_{ij}$より、
$(\langle\vect{j}_i\rangle^n{}_n[u_i])\bullet T^*(\vect{v})=(\langle\vect{j}_i\rangle^n{}_n[u_i])\bullet\left(\langle\vect{j}_j\rangle^n{}_n[\vect{v}\bullet T(\vect{j}_j)]\right)\\ =[u_i]^n{}_n\left[\overline{\vect{v}\bullet T(\vect{j}_i)}\right] =[u_i]^n{}_n[T(\vect{j}_i)\bullet\vect{v}] =T(\langle\vect{j}_i\rangle^n{}_n[u_i])\bullet\vect{v}。$
【一意】$T(\vect{u})\bullet\vect{v}=\vect{u}\bullet T^*(\vect{v})=\vect{u}\bullet T'(\vect{v})$ならば$\vect{u}\bullet(T^*(\vect{v})-T'(\vect{v}))=0$より$T^*(\vect{v})=T'(\vect{v})$。すなわち$T^*$は$U$の正規直交基底の選び方によらず定まる。
3, 1.2.より明らか。
4. 3.と前定理より明らか。

最後に、線形変換に関する定理を再掲しておこう。
定理．線型写像$T$に関する次の$4$条件は同値である。
1. $T(\vect{u})\bullet T(\vect{v})=\vect{u}\bullet\vect{v}$（内積保存・計量同型）
2. $\|T(\vect{v})\|=\|\vect{v}\|$（ノルム保存）
3. $T$は正規直交系を保存する。
4. $T^*T=I$

第４節　正規変換・正規行列

本節では、計量線型空間上の線型変換（正方行列）を扱う。

定義． 1. $T^*T=I$（$A^*A=E$）を満たす線型変換(正方行列)をユニタリ変換(ユニタリ行列)といい、実ユニタリ変換(行列)を直交変換(行列)という。
2. $T=T^*$（$A=A^*$）を満たす線型変換(正方行列)をエルミート変換(エルミート行列)といい、実エルミート変換(行列)を対称変換(行列)という。
3. $T^*T=TT^*$（$A^*A=AA^*$）を満たす線型変換(正方行列)を正規変換(正規行列)という。
4. 行列$[a_{ij}]$は、$i\lt j \Rightarrow a_{ij}=0$ をみたすとき下三角行列といい、$i\gt j \Rightarrow a_{ij}=0$ をみたすとき上三角行列という。

　1．は計量同型変換の呼び換えに過ぎず、$A$が直交行列なら $A^{-1}=A^\mathsf{T}$ である。実エルミート行列$A=[a_{ij}]$は定義から$A=A^\mathsf{T}$なので対称的($a_{ij}=a_{ji}$)である。明らかにユニタリ(直交)変換(行列)やエルミート(対称)変換(行列)は正規変換(行列)である。
　以下、正規変換の特徴（正規直交基底で対角化可能な事）を見てゆこう。

補題．線型変換$T:V\to V$と$V$の基底$\langle\vect{p}_i\rangle^n$に対し $T(\overline{\langle\vect{p}_i\rangle^k}^+)\subseteq\overline{\langle\vect{p}_i\rangle^k}^+,\ $
$1\le k\le n$が成立つ時、$T$の基底$\langle\vect{p}_i\rangle^n$の下での表現行列は上三角行列である。
証明．仮定より $\displaystyle T(\vect{p}_i)=\sum_{k=1}^i b_{ki}\vect{p}_k$ とおけ、上三角行列$\left[\begin{smallmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b{1n}\\ 0 & b_{22} & \cdots & b{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{smallmatrix}\right]$ は基底$\langle\vect{p}_i\rangle^n$のもとで$T$を表す。

補題．可換な線型変換$T,S:V\to V$は共通の固有ベクトルを1本以上持つ。
証明．$W_\alpha:=\{\vect{w}|T(\vect{x})=\alpha\vect{w}\}$ は線型空間で、
$\vect{w}\in W_\alpha \Rightarrow S(\vect{w})\in W_\alpha\quad\because)\ T(S(\vect{w}))=S(T(\vect{w}))=S(\alpha\vect{w})=\alpha S(\vect{w})$
より、$S$は$W_\alpha$上の線形変換でもあるから、$W_\alpha$に属す固有ベクトルを持つ。

　証明中の $W_\alpha$ を$T$の固有値$\alpha$の固有空間という。
問．$W_\alpha$ は線型空間であることを示せ。
定理．可換な線型変換$T,S:V\to V$に対し、正規直交基底$J=\langle\vect{j}_i\rangle^n$で
$T(\overline{\langle\vect{j}_i\rangle^k}^+)\cup S(\overline{\langle\vect{j}_i\rangle^k}^+) \subseteq\overline{\langle\vect{j}_i\rangle^k}^+,\ 1\le k\le n\ \ ―(\dagger)$
を満たすものが存在する。（$S,T$は$J$のもとでともに上三角行列で表される）
証明．$V$の次元$n$に関する帰納法で証明する。$n=1$ならば明らか。$n\gt 1$とする。$T^*,S^*$は可換【$\because\ TS=ST \Rightarrow T^*S^*=(ST)^*=(TS)^*=S^*T^*$】だから共通の固有ベクトル$\vect{j}_n$を持つ。$\|\vect{j}_n\|=1$としてよい。
　$W:=\{\vect{w}\mid \vect{w}\bullet\vect{j}_n=0\}$とおけば $\dim W=n-1$ で、$T(W)\cup S(W)\subseteq W$。 【$\because)\ \vect{w}\in W \Rightarrow T(\vect{w})\bullet\vect{j}_n =\vect{w}\bullet T^*(\vect{j}_n)$
$=\vect{w}\bullet \alpha\vect{j}_n=0\Rightarrow T(\vect{w})\in W。S$も同様。】 よって、帰納法の仮定より条件$(\dagger)$をみたす$W$の正規直交基底$\langle \vect{j}_i\rangle^{n-1}$ が存在し、$\langle \vect{j}_i\rangle^n$ は求める正規直交基底である。

　次は本節の主要定理である。
定理．1. 正規変換$\iff$正規直交基底で対角化される
2. エルミート変換$\iff$固有値がすべて実数の正規変換
3. ユニタリ変換$\iff$固有値がすべて絶対値$1$の正規変換
証明．1. $T,T^*$が可換なら、正規直交基底のもとで上三角行列$A,A^*$で表される。$A^*=\overline{A^\mathsf{T}}$だから$A,A^*$は対角行列。対角行列は可換なので逆は明らか。
2.3. これらが正規行列であることは明らか。対角行列で表した時の対角成分$\alpha$を考えれば、2.では$\alpha=\overline{\alpha}$、3.では$\alpha\overline{\alpha}=1$が成立つ。逆は明らか。

全固有値が正(非負)のエルミート変換を正(非負)値エルミート変換という。
定理．正則変換$T$は正値エルミート変換$H$とユニタリ変換$U$の積$HU$として一意に表される。
証明．$(TT^*)^*=TT^*$より、$TT^*$はエルミート変換だから、正規直交基底$\langle \vect{j}_i\rangle$で対角化され、$TT^*(\vect{j}_i)=\alpha_i\vect{j}_i$とすれば$\alpha_i\ge 0$。
$\because)\ \|T^*(\vect{j}_i)\|^2=T^*(\vect{j}_i)\bullet T^*(\vect{j}_i)=\vect{j}_i\bullet TT^*(\vect{j}_i)=\vect{j}_i\bullet \alpha_i\vect{j}_i=\alpha_i\|\vect{j}_i\|^2$
$\sqrt{TT^*}:\vect{j}_i\mapsto \sqrt{\alpha_i}\vect{j}_i$で定義すれば$\sqrt{TT^*}$は非負値エルミート変換で、$\sqrt{TT^*}^2=TT^*$である。$T$が正則ならば$TT^*$も正則で$\alpha_i\gt 0$。よって$\sqrt{TT^*}$は正値エルミート変換で正則である。$H=\sqrt{TT^*},\ U=H^{-1}T$とおけば、$H^{-1}$も正値エルミート変換で $UU^*=H^{-1}TT^*(H^{-1})^*=H^{-1}HHH^{-1}=I$。
　一意性の証明は省略する。