線型代数第５講
Jordan標準形
【第５講のポイント】
本講では、（必ずしも対角化されない）線型変換が基底の選び方によってどこまで簡単な形に行列で表現されるかという問題をあるかう。具体的な計算例をもとに議論を進める。
【第５講の目標】
学習後、以下のことが身についたかチェックしよう。
- Jordan標準形の定義を理解し、Jordan標準形が求められる
- 単因子の概念を理解する
- 最小多項式の概念と、ケーリーハミルトンの定理を理解する
【第５講の構成】
- １節 計算例
- ２節 単因子
- ３節 Jordan標準形
- ４節 最小多項式
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第１節 計算例
本講では、一般的に(対角化可能でない)正方行列がどこまで簡単な相似行列に変換できるかという問題を扱う。まず計算例を見てみよう。
例１．$A=\left[\begin{smallmatrix} 0& -1& -1& 0\\ -1& 1& 0& 1\\ 2& 1& 2& -1\\ -1& -1& -1& 1 \end{smallmatrix}\right]$の固有多項式は$\left|\begin{smallmatrix} -x& -1& -1& 0\\ -1& 1-x& 0& 1\\ 2& 1& 2-x& -1\\ -1& -1& -1& 1-x \end{smallmatrix}\right|=(1-x)^4$。
$(A-E)\vect{p}=\left[\begin{smallmatrix} -1& -1& -1& 0\\ -1& 0& 0& 1\\ 2& 1& 1& -1\\ -1& -1& -1& 0 \end{smallmatrix}\right]\vect{p}=\left[\begin{smallmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\end{smallmatrix}\right]$が解ける条件は$a_1=a_4=-a_2-a_3$、固有値$1$の線型独立な固有ベクトルは$2$本で例えば$\vect{p}=\left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ -1\\ 1\end{smallmatrix}\right],\ \vect{q}=\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$。$(A-E)\vect{p}'=\vect{p}$を解いて$\vect{p}'=\left[\begin{smallmatrix} 0\\ -1\\ 0\\ 0\end{smallmatrix}\right]$、$(A-E)\vect{q}'=\vect{q}$を解いて$\vect{q}'=\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$とおけば、$A\left[\vect{p},\vect{p}',\vect{q},\vect{q}'\right]=\left[\vect{p},\vect{p}+\vect{p}',\vect{q},\vect{q}+\vect{q}'\right]=\left[\vect{p},\vect{p}',\vect{q},\vect{q}'\right]\left[\begin{smallmatrix} 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1 \end{smallmatrix}\right]$。
WolframAlphaで確認
例２．$A=\left[\begin{smallmatrix} 2& 2& 0& -1\\ -1& 0& 0& 1\\ -1& -1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{smallmatrix}\right]$の固有多項式は$\left|\begin{smallmatrix} 2-x& 2& 0& -1\\ -1& -x& 0& 1\\ -1& -1& 1-x& 1\\ 0& 1& 0& 1-x \end{smallmatrix}\right|=(1-x)^4$。
$(A-E)\vect{p}=\left[\begin{smallmatrix} 1& 2& 0& -1\\ -1& -1& 0& 1\\ -1& -1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0 \end{smallmatrix}\right]\vect{p}=\left[\begin{smallmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\end{smallmatrix}\right]$が解ける条件は$a_2=a_3=a_4-a_1$、固有値$1$の線型独立な固有ベクトルは$2$本で例えば$\vect{p}=\left[\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$(条件を満たす)、と$\vect{q}=\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$。$(A-E)\vect{p}'=\vect{p}$より$\vect{p}'=\left[\begin{smallmatrix} -1\\ 1\\ 1\\ 0\end{smallmatrix}\right]$、$(A-E)\vect{p}''=\vect{p}'$より$\vect{p}''=\left[\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{smallmatrix}\right]$とおけば、$A\left[\vect{q},\vect{p},\vect{p}',\vect{p}''\right]=\left[\vect{q},\vect{p},\vect{p}+\vect{p}',\vect{p}'+\vect{p}''\right]=\left[\vect{q},\vect{p},\vect{p}',\vect{p}''\right]\left[\begin{smallmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1 \end{smallmatrix}\right]$。
WolframAlphaで確認 ここで固有ベクトルは$(A-E)\vect{p}'=\vect{p}$が解ける$\vect{p}$を探すことが肝要である。固有ベクトルとして例えば$\vect{p}+\vect{q},\vect{q}$を選んでしまうと、先に進めないことに注意せよ。
前講を含めこれまで例にあげた正方行列は、$0$または$1$の$(i,i+1)$成分 $(1\le i \lt n)$ と対角成分以外はすべて$0$の形の行列に相似であった。次節以降、任意の$n$次正方行列に対してこの事実が成立つことを示す。
第２節 単因子
本節の目標は次の定理と$A-xE$の基本変形による“対角化”である。
$A\approx B (相似) \iff (A-xE)\sim (B-xE) (対等)$
変数$x$の$\mathbb{K}$係数多項式を成分とする(正方)行列を
$x$-行列といい、$A(x),X(x)$等と表す。$A(x)$に対し$A(x)X(x)=X(x)A(x)=E$を満たす$X(x)$(があればそれ)を$A(x)$の
逆行列といって$A^{-1}(x)$と表し、$A(x)$は
可逆であるという。
定義．次の可逆な操作を
$x$-行列の基本変形という。
- 第$i$行と第$j$行(第$i$列と第$j$列)を交換する$\Leftrightarrow [^i_{j\leftrightarrow}E]$を左(右)から掛ける。
- 第$i$行(第$i$列)を $c \ne 0$ 倍する$\Leftrightarrow [^c_{i\times}E]$を左(右)から掛ける。
- 第$i$行の$r(x)$倍を第$j$行に(第$j$列の$r(x)$倍を第$i$列に)加える$(i\ne j)$
$\Leftrightarrow [^{r(x)i}_{j+}E]$を左(右)から掛ける。
$x$-行列の基本変形で移り合う$x$-行列は
対等といい、$A(x)\sim B(x)$と表す。
【注】$x$-行列の基本変形では、ある行(列)の多項式倍を他の行(列)に加えることは許すが、行(列)の多項式倍は、逆操作が基本変形でなく、許さない。
問．$x$-行列の基本変形は、逆操作もまた基本変形であることを示せ。
定理．$A\approx B \iff (A-xE)\sim (B-xE)$
証明．$\implies$：$AP=PB \implies (A-xE)P=P(B-xE)\implies A-xE\sim B-xE$
$\impliedby$：$(A-xE)P(x)=Q(x)(B-xE)$（$P(x),Q(x)$は可逆）とする。$x$-行列は行列係数の多項式とみなして剰余定理が成立つ（補足参照）ので、$P(x)=P_1(x)(B-xE)+P_0$、$Q(x)=(A-xE)Q_1(x)+Q_0$と書ける。$S(x):=P_1(x){-}Q_1(x)$として
$O=(A-xE)(P_1(x)(B-xE)+P_0)-((A-xE)Q_1(x)+Q_0)(B-xE)\\
=(A-xE)S(x)(B-xE)+(A-xE)P_0-Q_0(B-xE)\\
=x^2S(x)+xAS(x)+xS(x)B+AS(x)B+x(P_0-Q_0)+AP_0-Q_0B$
よって、$S(x)=O,\ P_0=Q_0,\ AP_0=Q_0B,\ (A-xE)P_0=Q_0(B-xE)$。
$P_0$は正則、を示す。剰余定理より$P^{-1}(x)=R_1(x)(A-xE)+R_0$と書け。
$E=P^{-1}(x)(P_1(x)(B-xE)+P_0)\\
=P^{-1}(x)P_1(x)(B-xE)+R_1(x)(A-xE)P_0+R_0P_0\\
=(P^{-1}(x)P_1(x)+R_1(x)Q_0)(B-xE)+R_0P_0$
よって、$P^{-1}(x)P_1(x)+R_1(x)Q_0=O,\ R_0P_0=E$
最高次係数が$1$の多項式を
モニック多項式という。
定理．$A(x)\sim \begin{bmatrix} {}_r[e_i(x)\delta_{ij}]^r& O\\ O& O\end{bmatrix}$。
ここで、$e_i(x)$はモニック多項式で$e_{i+1}(x)$を割り切る。右辺は$A(x)$に対し一通りで、$r$を$A(x)$の
ランク、$\langle e_1(x),\dots,e_r(x)\rangle$を$A(x)$（$A$）の
単因子という。
証明．多項式$g_1(x),\cdots,g_k(x)$を割り切る次数最大のモニック多項式を$g_1(x),\cdots,g_k(x)$の
最大公約多項式といい、$\gcd(g_1(x),\cdots,g_k(x))$と表す。ここで$0$は任意の多項式で割り切れるものとし、$\gcd(0,\cdots,0)=0$とする。
$A(x)={}_n[a_{ij}(x)]^n$とする。$a_{ij}(x)=f(x)a_{i'j}(x)+r_{ij}(x)$ならば、$i'$行の$-f(x)$倍を$i$行に加える基本変形で、$(i,j)$成分を$a_{ij}(x)$から$r_{ij}(x)$にできる(列に関しても同様)。これにより同一行(列)内でユークリッドの互除法が可能である。
-
$A(x)$は基本変形で$(1,1)$成分を第$1$行と第$1$列の成分の最大公約多項式
$f_1(x)=\gcd(a_{11}(x),a_{12}(x)\cdots,a_{1n}(x),a_{21}(x)\cdots,a_{n1}(x))$
にでき、$f_1(x)$を使って基本変形で第$1$行および第$1$列の他の成分をすべて$0$にできる。$2$行$2$列以降にもこれを繰返せば$A(x)\sim {}_n[f_i(x)\delta_{ij}]^n$。
-
対角行列${}_n[f_i(x)\delta_{ij}]^n$の第$2$行以降を第$1$行に加えると、第$1$行に$f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$が並ぶから、$e_1(x)=\gcd(f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x))$を$(1,1)$成分とし第$1$行および第$1$列の他の成分をすべて$0$にできる。このとき$e_1(x)$は$A(x)$の全成分の最大公約多項式である。
$2$行$2$列以降に対しても1.2.を繰返せば$A(x)\sim {}_n[e_i(x)\delta_{ij}]^n$。作り方から明らかに$e_i(x)$はモニック多項式または$0$で、$e_{i+1}(x)$を割り切る。よって、$0$に等しい$e_i(x)$を$0$で表せば定理を得る。
一意性の証明は省略する。
注．$x$-行列の基本変形は行列式の値を定数倍にしかしない。$|A-xE|$は$n$次モニック多項式($\ne 0$)だから、$r=n$で $|xE-A|=e_1(x)\cdots e_n(x)\ne 0$。
本節では$A(x)$を$n\times n$正方行列としているが、一般の$m\times n$行列に対しても定理および証明が成立ち、第２講第３節の定理の拡張になっている。
【補足】$x$-行列を例えば次のように行列係数多項式と考える。
$\begin{bmatrix}x^2+1& x+2 \\ 1& -x^2+2x\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{bmatrix}x^2+\begin{bmatrix}0& 1\\ 0& 2\end{bmatrix}x
+\begin{bmatrix} 1& 2\\ 1& 0\end{bmatrix}$
定理．(剰余定理)
$\displaystyle \sum_{i=0}^n P_ix^i
=\left(-\sum_{i=1}^n P_i(B^{i-1}+B^{i-2}x+\cdots+Ex^{i-1})\right)(B-xE)+\sum_{i=0}^n P_iB^i$
$\displaystyle \sum_{i=0}^n Q_ix^i
=(A-xE)\left(-\sum_{i=1}^n (A^{i-1}+A^{i-2}x+\cdots+Ex^{i-1})Q_i\right)+\sum_{i=0}^n A^iQ_i$
前ページの結果より、$A\sim B$ とそれらの単因子が等しい事は同値である。次節の準備として正方行列の単因子と簡単(対角)化との関連を見てみよう。
実習．単因子を求めてみよう。便利のため、以下のボタンを追加した。
・【ij成分因数分解】$i$行$j$列成分を因数分解する
・【i行でjk成分剰余化】$j$行から$i$行の($(j,k)$成分$\div (i,k)$成分)倍を引く。
$(j,k)$成分を$(i,k)$成分で割った余りにする
・【i列でkj成分剰余化】$j$列から$i$列の($(k,j)$成分$\div (k,i)$成分)倍を引く。
$(k,j)$成分を$(k,i)$成分で割った余りにする
第4講例4．$\left[\begin{smallmatrix} 3& 2& -8\\ 5& 6& -20\\ 2& 2& -7 \end{smallmatrix}\right]\approx\left[\begin{smallmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0 \end{smallmatrix}\right]$に対し、$\left[\begin{smallmatrix} 3-x& 2& -8\\ 5& 6-x& -20\\ 2& 2& -7-x \end{smallmatrix}\right]
\sim\left[\begin{smallmatrix} 2& 2& -7-x\\ 5& 6-x& -20\\ 3-x& 2& -8 \end{smallmatrix}\right]$ $
\sim\left[\begin{smallmatrix} 2& 0& 0\\ 0& -x+1& 5x/2-5/2\\ 0& -1+x& -x^2/2-2x+5/2 \end{smallmatrix}\right]
\sim\left[\begin{smallmatrix} 2& 0& 0\\ 0& -x+1& 0\\ 0& 0& -x^2/2+x/2 \end{smallmatrix}\right]
\sim\left[\begin{smallmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1-x& 0\\ 0& 0& x(1-x) \end{smallmatrix}\right]$。
問．例題で扱った次の行列の単因子を求め、対角化との関連を考察せよ。
第4講例4 $\begin{bmatrix} 3& 2& -8\\ 5& 6& -20\\ 2& 2& -7 \end{bmatrix}$、例5 $\begin{bmatrix} 1& 3& 3\\ 1& 5& 1\\ -1& -1& 3 \end{bmatrix}$、
第5講例1 $\begin{bmatrix} 0& -1& -1& 0\\ -1& 1& 0& 1\\ 2& 1& 2& -1\\ -1& -1& -1& 1 \end{bmatrix}$、例2 $\begin{bmatrix} 2& 2& 0& -1\\ -1& 0& 0& 1\\ -1& -1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{bmatrix}$
第３節 Jordan標準形
本節では、第１節で例示したような、正方行列の基底変換による（対角化できない場合も含めた）簡単化について取り扱う。
定義．
1. 正方行列$A(x),B(x)$の直和を$A(x)\oplus B(x):=\begin{bmatrix} A(x)& O\\ O& B(x) \end{bmatrix}$と定義する。
2. $k$次正方行列$J(a,k):=aE_k+{}_k[\delta_{i(i+1)}]^k$
をJordan細胞といい、Jordan細胞の直和をJordan行列という。
3. 正方行列$A$に相似なJordan行列を$A$のJordan標準形という。
問．前ページのアプリで$J(1,3)$、$J(1,1)\oplus J(1,3)$、$J(0,1)\oplus J(1,3)$の単因子を求めよ。
補題．
1. $J(a,k)-xE_k \sim E_{k-1}\oplus {}_1[(x-a)^k]^1$
2. $A_i(x) \sim E \oplus {}_1[f_i(x)]^1\ (1\le i\le n)$ とする。
$\displaystyle \bigoplus_{i=1}^n A_i(x)\sim \begin{cases}
E\oplus {}_n[f_i(x)\delta_{ij}]^n & f_i(x)\ (1\le i\lt n)がf_{i+1}(x)を割り切る時\\
\displaystyle E\oplus{}_1[\prod_{i=1}^n f_i(x)]^1 & f_i(x)がすべて互いに素の時
\end{cases}$
証明．1. $k=3$の計算例を示す。他の$k$についても同様に計算できる。
$\left[\begin{smallmatrix} a-x & 1 & 0 \\0 & a-x & 1\\ 0 & 0 & a-x \end{smallmatrix}\right]
\sim \left[\begin{smallmatrix} 1 & a-x & 0 \\a-x & 0 & 1\\ 0 & 0 & a-x \end{smallmatrix}\right]
\sim \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\a-x & -(a-x)^2 & 1\\ 0 & 0 & a-x \end{smallmatrix}\right]
\sim \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & (a-x)^2 & 1\\ 0 & 0 & a-x \end{smallmatrix}\right]$
$
\sim \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & (a-x)^2\\ 0 & a-x & 0 \end{smallmatrix}\right]
\sim \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & a-x & -(a-x)^3 \end{smallmatrix}\right]
\sim \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (x-a)^3 \end{smallmatrix}\right]$
2. 上段は、値が1の成分が左上に並ぶように行・列を入れ替えればよいだけである。下段ついてもまず、値が1の成分をすべて左上に並べる。$f_1(x), f_2(x)$が互いに素の時、$f_1(x)g_1(x)+f_2(x)g_2(x)=1$となる$g_1(x),g_2(x)$がある(付録参照)から $\begin{bmatrix} f_1(x) & 0\\0 & f_2(x)\end{bmatrix}
\sim \begin{bmatrix} f_1(x) & f_1(x)g_1(x)+f_2(x)g_2(x)\\0 & f_2(x)\end{bmatrix}
\sim $
$\begin{bmatrix} 1 & f_1(x)\\ f_2(x) & 0\end{bmatrix}
\sim \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & f_1(x)f_2(x)\end{bmatrix}$。
以下、$f_3(x),\dots$ 以降についても同様の変形を繰返せばよい。
注．補題では誤解を避けるために、$1\times 1$行列を${}_1[ ]^1$と表記している。
上の補題から任意の正方行列$A$はJordan行列に相似である事がいえる。$A$に相似なJordan行列はJordan細胞の並べ方を除いて一意で、それを$A$の
Jordan標準形という。まず例を見てみよう。
例．$A-xE \sim E\oplus [x-2]\oplus[(x-2)^3(x+1)]\oplus[(x-2)^3(x+1)^2]$とすると
$[x-2]\sim J(2,1)-xE_1,\\
E_3\oplus[(x-2)^3(x+1)]\sim (J(2,3)-xE_3)\oplus(J(-1,1)-xE_1),\\
E_4\oplus[(x-2)^3(x+1)^2]\sim (J(2,3)-xE_3)\oplus(J(-1,2)-xE_2)。$
よって $A\approx J(2,1)\oplus J(2,3)\oplus J(-1,1)\oplus J(2,3)\oplus J(-1,2)$
定理．任意の正方行列$A$はJordan行列に相似である。
証明．$|A-xE|$の単因子が$\langle e_1(x),\dots,e_n(x)\rangle$であるとする。各$e_i$に含まれる$(x-a)^k$に対するJordan細胞$J(a,k)$を並べたJordan行列は$A$に相似である。
上の定理から、$A$と相似なJordan行列はJordan細胞の並べ方を除いて一意に定まり、第１節で例示した方法で求まるのはJordan行列であるから、Jordan細胞の並べ方を除いて一意に定まる$A$のJordan標準形である。【詳しくは第８講５節参照】
応用例１．数列の漸化式$x_{n+3}=3x_{n+2}-4x_n$の$3$次元解空間$V$の一般解を求めよう。$\vect{x}_{x_0,x_1,x_2}:=\langle x_0,x_1,x_2,\cdots\rangle\in V$とおく。項を$1$ずらす線型変換$T:\langle x_0,x_1,\dots\rangle\mapsto\langle x_1,x_2,\dots\rangle$を表す行列は、基底$\langle \vect{x}_{1,0,0},\vect{x}_{0,1,0},\vect{x}_{0,0,1}\rangle$のもとで$A_T=\begin{bmatrix}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -4& 0& 3 \end{bmatrix}$である。$A_T$のジョルダン標準形を求めると、$A_T\begin{bmatrix}1& 1& 0\\ -1& 2& 1\\ 1& 4& 4 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1& 1& 0\\ -1& 2& 1\\ 1& 4& 4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-1& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2 \end{bmatrix}$となるから、
$T(\vect{x}_{1,-1,1})=-\vect{x}_{1,-1,1}$より$\vect{x}_{1,-1,1}=\langle(-1)^n\rangle$、
$T(\vect{x}_{1,2,4})=2\vect{x}_{1,2,4}$より$\vect{x}_{1,2,4}=\langle 2^n\rangle$、
$T(\vect{x}_{0,1,4})=2\vect{x}_{0,1,4}+\vect{x}_{1,2,4}$。
$\vect{x}_{0,1,4}$に対する漸化式は$x_{n+1}=2x_n+2^n$だから、$x_n=2x_{n-1}+2^{n-1}=$
$2(2x_{n-2}+2^{n-2})+2^{n-1}=2^2x_{n-2}+2\cdot2^{n-1}=\cdots=2^nx_0+n2^{n-1}$。$x_0=0$より$\vect{x}_{0,1,4}=\langle n2^{n-1}\rangle$。よって一般解は$\alpha (-1)^n+\beta 2^n+\gamma n2^{n-1}$と表せる。
WolframAlphaで確認
応用例２．微分演算子を$D=\frac{d}{dx}$とおく。$D^3y(x)=3D^2y(x)-4y(x)$の解は線型変換$D$に対する例１と同様の議論で$y(x)=\alpha e^{-x}+\beta e^{2x}+\gamma xe^{2x}$と表される。ここで$Dz(x)=2z(x)+e^{2x}$の解は$z(x)=xe^{2x}+Ce^{2x}$である。
WolframAlphaで確認
第４節 最小多項式
本節では、$n$次正方行列上の多項式を考える。
多項式$f(x)$の$x$に正方行列$A$を代入して得られる行列を$f(A)$あるいは$f(x)_A$と表す。
本節の目標は$|A-xE|_A=O$（ケーリー・ハミルトンの定理）である。
注．定理の主張は$|A-AE|=0$ではない
定義．$\varphi(A)=O$となる次数最小のモニック多項式$\varphi(x)$を$A$の
最小多項式といい、$\varphi_A(x)$と表す。
多項式$f(x)$と正方行列$A,B$、正則行列$P$に対し次が成立つ。
(1) $f(A)=O \iff f(x)$は$\varphi_A(x)$で割切れる
(2) $A \approx B \implies \varphi_A(x)=\varphi_B(x)$ $\because)\ f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P$
(3) $\varphi_{A\oplus B}(x)=\gcd(\varphi_A(x),\varphi_B(x))$
$\because)\ f(A\oplus B)=f(A)\oplus f(B)$
(4) $\varphi_{J(a,k)}=(x-a)^k$
以上より、次が成立つ。
定理．$\langle e_1(x),\dots,e_n(x)\rangle$が$A-xE$の単因子ならば $\varphi_{A}(x)=e_n(x)$。よって、$|A-xE|_A=O$。
行列計算への応用
多項式 $\varphi(x)$ が $\varphi(A)=O$ を満たすとする。
- $f(x)=g(x)\varphi(x)+h(x)$ならば、$f(A)=h(A)$。
- $\varphi(x)=xf(x)+a,\ a\ne 0$ならば、$Af(A)=-aE$より$f(A)=-aA^{-1}$。
- $\varphi(x)=(x-\alpha)g(x)$ならば、$(A-\alpha E)g(A)=O$より、$g(A)$に$\vect{o}$でない列ベクトルがあればそれは$A$の固有値$\alpha$の固有ベクトルである。
問．
$A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$とする。$|A-xE|=(x-3)(x+1)$を利用して、$A^5$、$A^{-1}$、$A$の固有ベクトル、を求めよ。
付録 最大公約多項式
本節では、表記の簡単化のため $\mathfrak{p},\mathfrak{q},\dots$ は変数$x$の($\mathbb{K}$係数)多項式とする。$\mathfrak{p}$の次数を$\deg(\mathfrak{p})$で表し $\deg(0)=-1$とする。次の事実(多項式の割り算)とその計算法については既知とする。
|
$\mathfrak{p}$と$\mathfrak{q}\ne 0$から、$\mathfrak{p}=\mathfrak{s}\mathfrak{q}+\mathfrak{r}$、$\deg(\mathfrak{r})\lt\deg(\mathfrak{q})$を満たす$\mathfrak{s},\mathfrak{r}$ が一意に定まる |
商$\mathfrak{s}$を
$\mathfrak{p}\div\mathfrak{q}$、
余り$\mathfrak{r}$を
$\mathfrak{p}\%\mathfrak{q}$ と表し、$\mathfrak{p}\%\mathfrak{q}=0$となる時$\mathfrak{q}$は$\mathfrak{p}$を
割切るという。
等式 $\mathfrak{p}\%\mathfrak{q}=\mathfrak{p}-(\mathfrak{p}\div \mathfrak{q})\mathfrak{q}$、$0\%\mathfrak{q}=0$、$(\mathfrak{p}+\mathfrak{p}')\%\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\%\mathfrak{q}+\mathfrak{p}'\%\mathfrak{q}$、$(\mathfrak{p}\mathfrak{p}')\%\mathfrak{q}=(\mathfrak{p}(\mathfrak{p}'\%\mathfrak{q}))\%\mathfrak{q}$ が成立つ。
定義(公約多項式の集合)．$/[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]/:=\{\mathfrak{s} \mid \mathfrak{p}\% \mathfrak{s}=\mathfrak{q}\%\mathfrak{s}=0\}$と定義する。
定理．$/[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]/=\begin{cases}
\{\mathfrak{s} \mid \mathfrak{p}\%\mathfrak{s}=0\} & \mathfrak{q}=0 の時\\
/[\mathfrak{q}\ \mathfrak{p}\%\mathfrak{q}]/& \mathfrak{q}\ne 0 の時\end{cases}$
証明．$\mathfrak{q}=0$ の時、$\mathfrak{q}\%\mathfrak{s}=0$ より明らか。$\mathfrak{q}\ne 0$の時、$/[\mathfrak{q}\ \mathfrak{p}\%\mathfrak{q}]/=/[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]/$は、$\mathfrak{q}\%\mathfrak{s}=0\Rightarrow (\mathfrak{p}\% \mathfrak{q})\%\mathfrak{s}=\mathfrak{p}\%\mathfrak{s}-((\mathfrak{p}\div\mathfrak{q})\mathfrak{q})\%\mathfrak{s}=\mathfrak{p}\%\mathfrak{s}$ より、成立つ。
定理．$\gcd(\mathfrak{p},\mathfrak{q})=\mathfrak{p}\mathfrak{s}+\mathfrak{q}\mathfrak{t}$ となる $\mathfrak{s},\mathfrak{t}$ が存在する。
証明．【Euclidの互除法】($\vect{\mathfrak{a}}_j$は2項$x$-列ベクトル)
$\mathfrak{p}_0:=\mathfrak{p};\ \mathfrak{p}_1:=\mathfrak{q};\ \vect{\mathfrak{a}}_0:=\vect{e}_0;\ \vect{\mathfrak{a}}_1:=\vect{e}_1;$
$j:=0,1,\dots$ に対し、$\mathfrak{p}_{j+1}\ne 0$ のあいだ次を繰り返す。
$\mathfrak{p}_{j+2}:=\mathfrak{p}_j\%\mathfrak{p}_{j+1};\
\vect{\mathfrak{a}}_{j+2}:=\vect{\mathfrak{a}}_j-(\mathfrak{p}_j\div\mathfrak{p}_{j+1})\vect{\mathfrak{a}}_{j+1};$
|
繰返しは $\deg(\mathfrak{p}_{j+1})\gt \deg(\mathfrak{p}_{j+2})\ge -1$ より必ず止まり、$j=k$で止まれば $\mathfrak{p}_{k+1}=0$。前定理より、$
/[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]/
=/[\mathfrak{p}_0\ \mathfrak{p}_1]/
=/[\mathfrak{p}_1\ \mathfrak{p}_2]/
=\cdots=/[\mathfrak{p}_k\ 0]/$ に属す最大次数のモニック多項式 $\gcd(\mathfrak{p},\mathfrak{q})$ は$\mathfrak{p}_k$の定数倍である。
$\begin{cases}
\mathfrak{p}_0&\hspace{-3mm}=\mathfrak{p},& \mathfrak{p}_1&\hspace{-3mm}=\mathfrak{q},& \mathfrak{p}_{j+2}&\hspace{-3mm}=\mathfrak{p}_j&\hspace{-3mm}-(\mathfrak{p}_j\div \mathfrak{p}_{j+1})\mathfrak{p}_{j+1}\\
[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]\vect{\mathfrak{a}}_0&\hspace{-3mm}=\mathfrak{p},& [\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]\vect{\mathfrak{a}}_1&\hspace{-3mm}=\mathfrak{q},&
[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]\vect{\mathfrak{a}}_{j+2}&\hspace{-3mm}=[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]\vect{\mathfrak{a}}_j&\hspace{-3mm}-(\mathfrak{p}_j\div \mathfrak{p}_{j+1})[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]\vect{\mathfrak{a}}_{j+1}\end{cases}$
より、$\mathfrak{p}_j=[\mathfrak{p}\ \mathfrak{q}]\vect{\mathfrak{a}}_j$。よって$\mathfrak{p}_j$の定数倍は定理の形に書ける。
補足．１．多項式の集合 $\mathfrak{r}_\mathfrak{q}:=\{\mathfrak{p}\mid \mathfrak{p}\%\mathfrak{q}=\mathfrak{r}\}\ne\emptyset$ に対し
$
\mathfrak{r}_\mathfrak{q}+\mathfrak{r}'_\mathfrak{q}:=(\mathfrak{r}+\mathfrak{r}')_\mathfrak{q},
\mathfrak{r}_\mathfrak{q}\mathfrak{r}'_\mathfrak{q}:=((\mathfrak{r}\mathfrak{r'})\%\mathfrak{q})_\mathfrak{q}
$
と定義でき、剰余$\%\mathfrak{q}$の世界でも和・積の計算が成立つ。
２．本節の議論は整数の世界でもほぼそのまま成り立つ。というより、整数の世界での議論を1変数多項式の世界で展開したとする方が正確だろう。
問．整数に対して本節と同様の結果を導け。