線型代数第１講
行列とは
【第１講のポイント】
行列とは何か。本講では、行列の意味と、基本的な用語を理解し、行列の和や積が計算できるようになろう。
【第１講の目標】
学習後、以下のことが身についたかチェックしよう。
- 行列、列ベクトル、行ベクトルの定義を理解する
- ベクトルの和、定数倍の計算ができる
- 行列の和、定数倍、積の計算ができ、簡単な公式を理解する
- 零行列、単位行列の定義・意味を理解する
- 行列の区分けについて理解する
【第１講の構成】
- １節 行列とは
- ２節 行列、ベクトルの記法
- ３節 行列の積
- ４節 特殊な行列とその性質
- ５節 行列の区分け
本書の見方
- ページをめくる
- 左(右)ページの左(右)端クリックまたはドラッグする
左(右)矢印キーを押す
- １ページ分の移動
- 左右上端にある[Next]、[Previous]タブをクリックする
- 節の頭に移動
- 右上の【節の移動】タブをクリックし、現れた節を選ぶ
- ページのジャンプ
- 右上のページ番号表示タブをクリックし、現れたページを選ぶ
- 画像の拡大およびリンク先への移動
- 画像やリンク先をクリックすれば、別ウィンドウ(タブ)で表示される
第１節 行列とは
行列とは何か。まず次の例を見てみよう。
ケーキ1個作るのに100gの小麦粉が必要なら、ケーキ$x$個作るのに必要な小麦粉の量$y$gは$x$に
比例し $y=100x$ で求まる。では、作るものにクッキーもあり、材料に砂糖や牛乳も考慮するとしたら、どうだろうか。
| 材料(g/個) | ケーキ | クッキー |
| 小麦粉 | 100 | 30 |
| 砂糖 | 50 | 10 |
| 牛乳 | 70 | 20 |
ケーキやクッキーを作るのに必要な小麦粉、砂糖、牛乳の量（グラム数）を右表で与えた時、$x_ケ$個のケーキと$x_ク$枚のクッキーを作るのに必要な小麦粉$y_粉$g、砂糖$y_糖$g、牛乳$y_乳$gは以下の左式で与えられる。これを右式の形に書こう。
$$\begin{cases}
y_粉=100x_ケ+30x_ク\\
y_糖=50x_ケ+10x_ク\\
y_乳=70x_ケ+20x_ク
\end{cases}
\begin{bmatrix}
y_粉\\
y_糖\\
y_乳
\end{bmatrix}
%=\begin{bmatrix}
%100x_ケ+30x_ク\\
%50x_ケ+10x_ク\\
%70x_ケ+20x_ク
%\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
100 & 30\\
50 & 10\\
70 & 20
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_ケ\\
x_ク
\end{bmatrix}$$
右式は $
\vect{y}=\begin{bmatrix}
y_粉\\
y_糖\\
y_乳
\end{bmatrix},\
A=\begin{bmatrix}
100 & 30\\
50 & 10\\
70 & 20
\end{bmatrix},\
\vect{x}=\begin{bmatrix}
x_ケ\\
x_ク
\end{bmatrix}$
と置けば $\vect{y}=A\vect{x}$と書け、
$A$は、多変数(をまとめた)$\vect{y}$と$\vect{x}$との“比例”係数と見做せる。
≪実習≫右のアプリでケーキ3個とクッキー5枚を作るのに必要な小麦粉、砂糖、牛乳の量を【計算】してみよう。また、$A$と$\vect{x}$の値を適当に設定していろいろ【計算】してみよう。これらの計算は筆算でも自由にできるようにしておこう。
本テキストでは、数式の計算に数式処理ライブラリ
NERDAMERを利用している。
第２節 行列・ベクトルの記法
前節の例を一般化する。1変数の比例式 $y=ax$ を多変数に拡張した式
$$\left\{ \begin{array}{l}
y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\
y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\
\vdots\\
y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n
\end{array}\right.$$
を、次のようにおいて、$\vect{y}=A\vect{x}$ と表す。以下、数は実数($\mathbb{R}$)とする。
| $\vect{y}$ | $A$ | $\vect{x}$ | $A\vect{x}$ の定義 |
| $\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_m \end{bmatrix}$ |
$= \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{bmatrix}$ |
$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}$ |
$:=\begin{bmatrix}
a_{11}x_1{+}a_{12}x_2{+}{\cdots}{+}a_{1n}x_n\\
a_{21}x_1{+}a_{22}x_2{+}{\cdots}{+}a_{2n}x_n\\
\vdots\\
a_{m1}x_1{+}a_{m2}x_2{+}{\cdots}{+}a_{mn}x_n
\end{bmatrix}$ |
行列は上式$A$のように$m{\times}n$個の数を$m$行$n$列に並べたものであり、$m$を$A$の
行数、$n$を$A$の
列数、$A$を
$m{\times}n$行列という。通常 $A$ の $(i,j)$成分（$i$行$j$列成分）を $a_{ij}$ と表し、$A={}_m[a_{ij}]^n$ と書く。
$m{\times}n$行列の全体を${}_m[\mathbb{R}]^n$と表し、特に$m=1$（$n=1$）のとき、$[\mathbb{R}]^n$（${}_m[\mathbb{R}]$）と表す。上式の$\vect{y}\in{}_m[\mathbb{R}]$を
$m$項列ベクトルといい、$\vect{y}={}_m[y_i]$ のように表す。したがって $\vect{y}=A\vect{x}$ は ${}_m[y_i]={}_m[a_{ij}]^n{}_n[x_j]$ と書ける。以後
$\vect{y}=A\vect{x}$と書けば、$A$の行数は$\vect{y}$の項数と等しく、$A$の列数は$\vect{x}$の項数と等しいと仮定する。
通常、行列は$A, B, C,\dots$等の大文字で、列ベクトルは$\vect{x}, \vect{y}, \dots$等の小文字の太字で、数は$a,b,c,x,y,\dots$等の小文字で表す。
$[\mathbb{R}]^n$の要素を
$n$項行ベクトルといい $\vec{\vect{a}}=[a_{1}\ a_{2}\ \dots\ a_{n}]=[a_j]^n$ のように表す。上式は$m=1$の場合、次式のように書け、
行ベクトルと列ベクトルの積は各々の項の積の和になる。
$$[y]
=[a_{1}\ a_{2}\ \dots\ a_{n}]\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}
=[a_j]^n{}_n[x_j]
=\left[\dsum_{j=1}^na_jx_j\right]$$
ここでは$1\times 1$行列$[y]$と(変)数$y$とを区別しているが、以下、誤解の恐れがなければこれらを区別せず、$1\times 1$行列$[a]$を単に$a$と表す。
$A={}_m\left[a_{ij}\right]^n$は第$i$行ベクトル$\vec{\vect{a}}_i=[a_{ij}]^n$を並べた$A={}_m[\vec{\vect{a}}_i]={}_m[[a_{ij}]^n]$と見做せるから、$A\vect{x}$の第$i$項は$A$の第$i$行ベクトルと列ベクトル$\vect{x}$の積であることが、次のように表せる。
$$A\vect{x}
={}_m\left[a_{ij}\right]^n{}_n[x_j]
={}_m\left[[a_{ij}]^n\right]{}_n[x_j]
={}_m\left[[a_{ij}]^n{}_n[x_j]\right]
={}_m\left[\vec{\vect{a}}_i\vect{x}\right]$$
ベクトルの和と定数倍
列(行)ベクトルの和と$c$倍を成分毎の和と定数倍で定義する。
$$
{}_m[x_i]+{}_m[y_i]:={}_m[x_i+y_i],\
c{\ }_m[x_i]={}_m[x_i]c:={}_m[cx_i]\\
[x_i]^n+[y_i]^n:=[x_i+y_i]^n,\
c[x_i]^n=[x_i]^nc:=[cx_i]^n
$$
$A\vect{x}$を$A={}_m\left[a_{ij}\right]^n$の第$j$列ベクトル$\vect{a}_j={}_m[a_{ij}]$を使って表すと、
$$\begin{bmatrix}
a_{11}x_1{+}a_{12}x_2{+}{\cdots}{+}a_{1n}x_n\\
a_{21}x_1{+}a_{22}x_2{+}{\cdots}{+}a_{2n}x_n\\
\vdots\\
a_{m1}x_1{+}a_{m2}x_2{+}{\cdots}{+}a_{mn}x_n
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots\\
a_{m1}
\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots\\
a_{m2}
\end{bmatrix}x_2+\cdots+\begin{bmatrix}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots\\
a_{mn}
\end{bmatrix}x_n
$$
より、
$A\vect{x}
={}_m[a_{ij}]^n{}_n[x_j]
=[{}_m[a_{ij}]]^n{}_n[x_j]
=\dsum_{j=1}^n{}_m[a_{ij}]x_j
=\dsum_{j=1}^n\vect{a}_jx_j
=[\vect{a}_j]^n\vect{x}
$
この事実（記法）は今後頻繁に用いる。このように、行列を時に応じて行ベクトルや列ベクトルに分解する視点が重要である。
定理．$A(\vect{x}a+\vect{y}b)=(A\vect{x})a+(A\vect{y})b$
問．上の定理を示せ
添え字の約束
行列の表記 ${}_m[a_{ij}]^n$では、添え字$i,j$のうち(位置ではなく)アルファベット順で早い $i$ は行番号$1,2,\dots,m$を動き、遅い $j$ は列番号$1,2,\dots,n$を動くと約束する。したがって、${}_m[a_{ij}]^n={}_m[a_{jk}]^n={}_m[a_{ik}]^n$である。また $({}_m[a_{ij}]^n)^\mathsf{T}:={}_n[a_{ji}]^m$ を ${}_m[a_{ij}]^n$ の転置行列という。
問．1.${}_2[a_{ij}]^3$とその転置行列 ${}_3[a_{ji}]^2$を具体的に書き下せ。
2.3次のヴァンデルモンド行列 ${}_3[a_j^{i-1}]^3$を具体的に書き下せ。
第３節 行列の積
| 詰合せ表(個/箱) | 松 | 竹 | 梅 |
| ケーキ | 20 | 10 | 5 |
| クッキー | 20 | 15 | 10 |
ケーキとクッキーの例題で、松、竹、梅の詰合せセットを考えてみよう。1箱当たりのケーキやクッキーの個数が右表で与えられるとして、$w_松$箱の松セットと$w_竹$箱の竹セット、$w_梅$箱の梅セットを全て作るのに必要な小麦粉$y_粉$g、砂糖$y_糖$g、牛乳$y_乳$gはどのように求まるだろうか。
$$
\begin{bmatrix}
x_ケ\\
x_ク
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
20 & 10 & 5\\
20 & 15 & 10
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_松\\
w_竹\\
w_梅
\end{bmatrix},\
\begin{bmatrix}
y_粉\\
y_糖\\
y_乳
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
100 & 30\\
50 & 10\\
70 & 20
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_ケ\\
x_ク
\end{bmatrix}$$
に基づいて計算すると、下式のようになる。
$$\begin{bmatrix}
y_粉\\
y_糖\\
y_乳
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
100 & 30\\
50 & 10\\
70 & 20
\end{bmatrix}
\left(\begin{bmatrix}
20 & 10 & 5\\
20 & 15 & 10
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_松\\
w_竹\\
w_梅
\end{bmatrix}\right)\\
=\begin{bmatrix}
100 & 30\\
50 & 10\\
70 & 20
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
20w_松+10w_竹+5w_梅\\
20w_松+15w_竹+10w_梅
\end{bmatrix}\\
=\begin{bmatrix}
2600w_松+1450w_竹+800w_梅\\
1200w_松+650w_竹+350w_梅\\
1800w_松+1000w_竹+550w_梅
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2600 & 1450 & 800\\
1200 & 650 & 350\\
1800 & 1000 & 550
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_松\\
w_竹\\
w_梅
\end{bmatrix}$$
一般に、$\vect{y}=A\vect{x},\ \vect{x}=B\vect{w}=\left[\vect{b}_k\right]^n{}_n[w_k]$のとき
$
\vect{y}=A\left(B\vect{w}\right)=A([\vect{b}_k]^n{}_n[w_k])
=A\left(\sum_{k=1}^n\vect{b}_kw_k\right)\\
=\sum_{k=1}^n(A\vect{b}_k)w_k
=\left[A\vect{b}_k\right]^n{}_n[w_k]
=\left[A\vect{b}_k\right]^n\vect{w}$
よって行列の積を
$A[\vect{b}_k]^n:=\left[A\vect{b}_k\right]^n
=\left[A\vect{b}_1\ A\vect{b}_2\ \cdots\ A\vect{b}_n\right]$
と定義すれば、$A(B\vect{w})=(AB)\vect{w}$が成立つ。以後、
$AB$と書けば$A$の列数と$B$の行数は等しいと仮定する。
$A={}_l[a_{ij}]^m,\
B={}_m[b_{jk}]^n=\left[{}_m[b_{jk}]\right]^n$ に対し、
$C=AB$ の $(i,k)$成分 $c_{ik}$ は、第$k$列 ${}_l[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]={}_l[[a_{ij}]^m]{}_m[b_{jk}]={}_l\left[[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]\right]$
の第$i$項なので、
$c_{ik}=[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]
=\sum_{j=1}^m a_{ij}b_{jk}$
即ち、
$AB$の$(i,k)$成分は、$A$の第$i$行と$B$の第$k$列の積で、次のように書ける。
$$AB={}_l[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]^n
={}_l\left[[a_{ij}]^m\right]\left[{}_m[b_{jk}]\right]^n
={}_l\left[[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]\right]^n$$
≪実習≫上のアプリで行列の積を【計算】してみよう。また、行列の値を適当に設定していろいろ【計算】してみよう。これらの計算は筆算でも自由にできるようにしておこう。
行列の和と定数倍
行列の和と定数倍はベクトルと同様に成分ごとの和と定数倍、すなわち$${}_m[a_{ij}]^n+{}_m[b_{ij}]^n:={}_m[a_{ij}+b_{ij}]^n,\
c{\ }_m[a_{ij}]^n={}_m[a_{ij}]^nc:={}_m[ca_{ij}]^n$$
で定義する。
以後、
$A+B$と書けば$A, B$の行数と列数は各々等しいと仮定する。
行列の和と積の公式
行列の和と積に関して以下が成立つ。（証明は省略する）
$$A(BC)=(AB)C,\ A(B+C)=AB+AC,\ (A+B)C=AC+BC$$
問．$AB\ne BA$となる例をあげよ。
行列積の別表現
行列の積については、次のような表現（計算法）もできる。2．は、中央の${}_q[b_{jk}]^r$が疎な（多くの成分が$0$の）行列の時有用だろう。
定理．
- ${}_p[a_{ij}]^q{}_q[b_{jk}]^r
=\dsum_{j=1}^q {}_p[a_{ij}][b_{jk}]^r$
-
${}_p[a_{ij}]^q{}_q[b_{jk}]^r{}_r[c_{kl}]^s
=\dsum_{j=1}^q\dsum_{k=1}^r b_{jk}
{\ }_p[a_{ij}][c_{kl}]^s$
証明．1．両辺の$(i,k)$成分はともに$\dsum_{j=1}^q a_{ij}b_{jk}$である。
2．両辺の$(i,l)$成分はともに$\dsum_{j=1}^q\dsum_{k=1}^r a_{ij}b_{jk}
c_{kl}$である。
問．
$\begin{bmatrix}
100 & 30\\
50 & 10\\
70 & 20
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
20 & 10 & 5\\
20 & 15 & 10
\end{bmatrix}$
に対し、定理の2．が成立つことを確認せよ。
第４節 特殊な行列とその性質
零行列、単位行列
成分がすべて$0$の行列 ${}_m[0]^n$ を$m{\times}n$零行列（単に零行列）といい$O_{mn}$（単に$O$）と表す。以下が成立つ。
$0A=O,\ A+O=O+A=A,\ AO=OA=O$
($n$項)零列ベクトル ${}_n[0]$ を $\vect{o}_n$（単に$\vect{o}$）と表し、($n$項)零行ベクトル $[0]^n$ を $\vec{\vect{o}}_n$（単に$\vec{\vect{o}}$）と表す。
行数と列数が等しい$n{\times}n$行列を$n$次(正方)行列という。特に左上から右下への対角成分のみが$1$で他はすべて$0$の$n$次行列 ${}_n[\delta_{ij}]^n$ 1)を($n$次)単位行列といい $E_n=E=[\delta_{ij}]$ と表す。第$j$項のみが$1$で他はすべて$0$の($n$項)列ベクトル ${}_n[\delta_{ij}]$ を $\vect{e}_j$ で表し($n$項)単位列ベクトルという。以下が成立つ。
$E_n=[{}_n[\delta_{ij}]]^n=[\vect{e}_j]^n=[\vect{e}_1\ \vect{e_2}\ \cdots\ \vect{e}_n],\quad EA=AE=A$
注1) $\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタといい、$i=j$の時$1$を$i\ne j$の時$0$を表す。
逆行列
正方行列$A$に対し、$AX=XA=E$を満たす行列$X$が存在すれば一意に定まる2)ので、それを$A$の逆行列といい、$A^{-1}$と表す。以下が成立つ。
$(A^{-1})^{-1}=A,\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\ \vect{y}=A\vect{x}\Rightarrow \vect{x}=A^{-1}\vect{y}$
逆行列を持つ正方行列を正則行列という。正方行列が正則行列であるとは限らないが、以下$A^{-1}$と書く時には$A$は正則と仮定する。
問．１．正則行列でない正方行列の例をあげよ。
２．$A$が正則の時、$AB$が正則$\iff$$B$が正則、を示せ。
注2)$AX=YA=E$ならば、$Y=Y(AX)=(YA)X=X$
正方行列に対し、$AB=E$ならば$BA=E$が成立つが証明は省略する。
第５節 行列の区分け
行列の区分けとは、下の例のように行列を格子状に区切って小さな行列に分割し、行列を並べた行列として表すことである。
$$\left[\begin{array}{cc:c:cc}
1 & 4 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
\hdashline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 7 & 0 & 1
\end{array}\right]
:\begin{bmatrix}
A & \vect{b} & O\\
O & \vect{c} & E_2
\end{bmatrix},\
A=\begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 3
\end{bmatrix},\
\vect{b}=\begin{bmatrix}
2\\
1
\end{bmatrix},\
\vect{c}=\begin{bmatrix}
0\\
7
\end{bmatrix}$$
以下に述べる事実から、上の例のように行列を区分けして特殊な行列（零行列、単位行列）を取り出せると見通しが良く計算が簡単になる。【行列の積を定義する際には行列を各列(ベクトル)に区分けしていた】
行列$A$を、行列$A_{ij}$を$m$行$n$列に並べた行列に区分けすることを $A:{}_m[A_{ij}]^n$と表す。ここで、各成分行列は適切な行数と列数を持つものとする。
定理．（1）$A:{}_m[A_{ij}]^n,\ B:{}_m[B_{ij}]^n \Rightarrow aA+bB:{}_m[aA_{ij}+bB_{ij}]^n$。
（2）$A:{}_l[A_{ij}]^m,\ B:{}_m[B_{jk}]^n \Rightarrow AB:{}_l[\sum_{j=1}^m A_{ij}B_{jk}]^n$。
証明．(1) 行列の和や定数倍は成分ごとの和や定数倍だから明らか。
(2) $A=[a_{st}]$、$B=[b_{tu}]$、$A_{ij}$は$l_i\times m_j$行列、$B_{jk}$は$m_j\times n_k$行列、$C_{ik}$は$l_i\times n_k$行列で $AB:{}_l[C_{ik}]^n$ とし、$\sum[r_p]^q:=\sum_{p=1}^q r_p$ と定義する。$A_{ij}B_{jk}$の$(\alpha,\gamma)$成分は、$s=\sum[l_p]^{i-1}+\alpha,\ u=\sum[n_p]^{k-1}+\gamma$ とおいて、
$$\sum_{t=\sum[m_p]^{j-1}\ \ +1}^{\sum[m_p]^j}a_{st}b_{tu}$$
である。一方$C_{ik}$の$(\alpha,\gamma)$成分は、$AB$の$(s,u)$成分だから
$$\sum_{t=1}^{\sum[m_p]^m}a_{st}b_{tu}=\sum_{t=1}^{\sum[m_p]^1}a_{st}b_{tu}+\sum_{t=\sum[m_p]^1\ +1}^{\sum[m_p]^2}a_{st}b_{tu}+\cdots+\sum_{t=\sum[m_p]^{m-1}\ \ +1}^{\sum[m_p]^m}a_{st}b_{tu}$$
よって
$$C_{ik}=A_{i1}B_{1k}+A_{i2}B_{2k}+\cdots+A_{im}B_{mk}$$
【計算例】
$$\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
O & A_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12}\\
O & B_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
A_{11}B_{11} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\
O & A_{22}B_{22}
\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}
\begin{matrix} A_1 & \\ & A_2 \end{matrix} & \Large{O}\\
\Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \\ & A_n \end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\begin{matrix} B_1 & \\ & B_2 \end{matrix} & \Large{O}\\
\Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \\ & B_n \end{matrix}
\end{bmatrix}\\
=\begin{bmatrix}
\begin{matrix} A_1B_1 & \\ & A_2B_2 \end{matrix} & \Large{O}\\
\Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \\ & A_nB_n \end{matrix}
\end{bmatrix}$$
正方行列の区分けは、特に断らない限り、行の区分けと列の区分けが一致する対称区分けであるとする。
問．１．$A_1,\ A_2$が正則ならば、
$\begin{bmatrix}
A_1 & B\\
O & A_2
\end{bmatrix}
$も正則であることを示せ。
２．正方行列の(対称)区分け$\begin{bmatrix}
\begin{matrix} A_1 & \\ & A_2 \end{matrix} & \Large{O}\\
\Large{O} & \begin{matrix} \ddots & \\ & A_n \end{matrix}
\end{bmatrix}$が正則である必要十分条件は
$A_1,\,A_2,\,\dots,A_n$が正則であることを示せ。
補足 記法のまとめ
$\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \dots$ は数、ベクトル、行列等、定数倍やその間での和と積が計算できる対象とし、それらを縦・横に並べたものに対し、次の式変形が可能とする。
$$[\mathfrak{a}_{j}]^m{}_m[\mathfrak{b}_{j}]=\dsum_{j=1}^m \mathfrak{a}_{j}\mathfrak{b}_{j},\quad
{}_m[\mathfrak{a}_{ij}]^n={}_m[[\mathfrak{a}_{ij}]^n]=[{}_m[\mathfrak{a}_{ij}]]^n\\
\mathfrak{a}=[\mathfrak{a}],\quad
{}_m[\mathfrak{a}_{i}][\mathfrak{b}_{j}]^n={}_m[\mathfrak{a}_{i}\mathfrak{b}_{j}]^n,\quad
{}_m[\mathfrak{a}_{ij}]=\mathfrak{c}_{j},\quad
[\mathfrak{a}_{ij}]^n=\mathfrak{c}_{i}
$$
本講で議論した計算式は、上記の変形により次のように導かれる。
$$\begin{array}{ll}
\vec{\vect{a}}\vect{b}& [a_j]^m{}_m[b_j]& =\dsum_{j=1}^m a_{j}b_j\\
A\vect{b}& {}_l[a_{ij}]^m{}_m[b_j]& =
\begin{cases}
{}_l\left[[a_{ij}]^m\right]{}_m[b_j]
={}_l\left[[a_{ij}]^m{}_m[b_j]\right]\\
[{}_l[a_{ij}]]^m{}_m[b_j]
=\dsum_{j=1}^m {}_l[a_{ij}]b_j
\end{cases}\\
\vec{\vect{a}}B& [a_{j}]^m{}_m[b_{jk}]^n& =
\begin{cases}
[a_{j}]^m\left[{}_m[b_{jk}]\right]^n
=\left[[a_{j}]^m{}_m[b_{jk}]\right]^n\\
[a_{j}]^m{}_m\left[[b_{jk}]^n\right]
=\dsum_{j=1}^m a_j[b_{jk}]^n
\end{cases}\\
AB& {}_l[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]^n& =
\begin{cases}
{}_l\left[[a_{ij}]^m\right]\left[{}_m[b_{jk}]\right]^n
={}_l\left[[a_{ij}]^m{}_m[b_{jk}]\right]^n\\
\left[{}_l[a_{ij}]\right]^m{}_m\left[[b_{jk}]^n\right]
=\dsum_{j=1}^m {}_l[a_{ij}][b_{jk}]^n
=\dsum_{j=1}^m {}_l[a_{ij}b_{jk}]^n
\end{cases}\\
\\
区分け& {}_l[A_{ij}]^m{}_m[B_{jk}]^n&
={}_l\left[[A_{ij}]^m\right]\left[{}_m[B_{jk}]\right]^n
={}_l\left[[A_{ij}]^m{}_m[B_{jk}]\right]^n
\end{array}$$